|
Εφαρμογή με την οποία μπορούμε να μελετήσουμε την σχέση της θερμοκρασίας και της κινητικής ενέργειας ενός αερίου. Μπορούμε να μεταβάλλουμε την θερμοκρασία του αερίου για να δούμε πως αυτή η μεταβολή επηρεάζει την κινητική κατάσταση των μορίων του αερίου.
Θεωρούμε ένα αέριο το οποίο αποτελείται από $N$ μόρια. Ας υποθέσουμε ότι τα μόρια αυτά έχουν ταχύτητες $υ_1,υ_2,\cdots,υ_N$ τότε ο μέσος όρος των ταχυτήτων θα είναι
$$\overline υ = \frac{{{υ_1} + {υ_2} + \cdots + {υ_N}}}{N}$$
ενώ ο μέσος όρος των τετραγώνων των ταχυτήτων $υ_1^2,υ_2^2,\cdots,υ_N^2$ θα είναι
$$\overline {υ^2} = \frac{{{υ_1^2} + {υ_2^2} + \cdots + {υ_N^2}}}{N}$$
Συχνά κάνουμε το λάθος να θεωρούμε πως οι ποσότητες $\overline {υ^2}$ και ${\overline υ}^2$ είναι μεταξύ τους ίσες, αυτό όμως δεν ισχύει. Η πρώτη έννοια είναι η μέση τιμή των τετραγώνων της ταχύτητας ενώ η δεύτερη το τετράγωνο της μέσης ταχύτητας.
$$\overline {{\upsilon ^2}} \ne {\overline \upsilon ^2}$$
Επειδή η ποσότητα $\overline {{\upsilon ^2}}$ έχει διαστάσεις τετραγώνου ταχύτητας χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό $υ_\mathsf{εν}$ δηλαδή
$$υ_\mathsf{εν}^2 = \overline {{\upsilon ^2}}$$ ή
|
$$υ_\mathsf{εν}=\sqrt{\overline {{\upsilon ^2}}}$$ |
$$(1)$$ |
Ένα αέριο αποτελείται από ένα τεράστιο αριθμό μορίων. Εξαιτίας του πλήθους αυτού είναι αδύνατον να μελετήσουμε το αέριο ακολουθώντας τους γενικούς νόμους για κάθε μόριο γι αυτό χρησιμοποιούμαι στατιστικές μεθόδους. Στα αέρια έχουμε δει την έννοια της πίεσης. Η αιτία της ιδιότητας αυτής στα αέρια οφείλεται στο ότι τα μόρια κινούνται και συγκρούονται με οποιαδήποτε επιφάνεια βρεθεί μέσα σε αυτά. Η σύγκρουση οδηγεί στην μεταβολή της ορμής του μορίου και αυτό σημαίνει ότι η επιφάνεια δέχεται δύναμη. Η πίεση ενός αερίου λοιπόν οφείλεται στις συγκρούσεις των μορίων του με τα τοιχώματα του δοχείου ή με μια οποιαδήποτε επιφάνεια που βρίσκεται μέσα σε αυτό. Στηριζόμενοι στον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα μπορούμε να καταλήξουμε στην εξίσωση $(2)$ την οποία θα την δεχθούμε χωρίς απόδειξη.
|
$$p=\frac13 ρ \overline {{\upsilon ^2}}$$ |
$$(2)$$ |
Όπου $ρ$ η πυκνότητα του αερίου.
Η παραπάνω είναι μια βασική εξίσωση που συνδιάζει των μακρόκοσμο ($p$) με τον μικρόκοσμο ($\overline {{\upsilon ^2}}$). Αν συμβολίσουμε με $m$ την μάζα ενός μορίου και με $N$ το πλήθος των μορίων τότε η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γραφεί και ως
|
$$p=\frac13 \frac{Nm}{V} \overline {{\upsilon ^2}}$$ |
$$(3)$$ |
Όπου $V$ ο όγκος του δοχείου.
Η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων $pV=nRT$ μπορεί να πάρει μια διαφορετική μορφή αν αντί των moles ($n$) χρησιμοποιήσουμε τον αριθμό των μορίων ($N$) και μια καινούργια σταθερά. Την σταθερά του Boltzmann
$$k=\frac{R}{N_A}$$
Επειδή $n=\frac{N}{N_A}$ έχουμε
$$pV=nRT$$
$$pV=\frac{N}{N_A}RT$$
$$pV=N\frac{R}{N_A}T$$
Συνδιάζοντας τις εξισώσεις $(3)$ και $(4)$ προκύπτει
$$\frac13 \frac{Nm}{V} \overline {{\upsilon ^2}}V=NkT$$
|
$$\frac13 m \overline {{\upsilon ^2}} = NkT$$ |
$$(5)$$ |
Το πρώτο μέλος μας θυμίζει κινητική ενέργεια αν το τροποποιήσουμε κατάληλα
|
$$\frac12 m \overline {{\upsilon ^2}} = \frac32 NkT$$ |
$$(6)$$ |
Το πρώτο μέλος της εξίσωσης $(6)$ είναι η μέση κινητική ενέργεια των μορίων και αυτό γιατί
$$\overline K = \frac{K_1+K_2+\cdots+K_N}{N}$$
$$\overline K = \frac{\frac12 mυ_1^2+\frac12 mυ_2^2+\cdots+\frac12 mυ_N^2}{N}$$
$$\overline K = \frac12 m \left(\frac {υ_1^2+υ_2^2+\cdots+υ_N^2}{N}\right)$$
$$\overline K = \frac12 m \overline {{\upsilon ^2}}$$
συνδιάζοντας την τελευταία εξίσωση με την $(6)$ προκύπτει η πολύ βασική εξίσωση
|
$$\overline K = \frac32 kT$$ |
$$(7)$$ |
ή
$$T=\frac{2}{3k}\overline K$$
Η οποία μας πληροφορεί πως αυτό που αντιλαμβανόμαστε ως θερμοκρασία δεν τίποτε άλλο από την μέση κινητική ενέργεια των μορίων. Όταν δηλαδή φυσάει καυτός αέρας σημαίνει πως τα μόρια του έχουν μεγαλύτερη μέση κινητική ενέργεια.
Αν συνδιάσουμε την $(5)$ με την $(1)$ προκύπτει
$$\frac13 m υ_{\mathsf{εν}}^2=NkT$$
|
$$υ_{\mathsf{εν}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}$$ |
$$(8)$$ |
Αν αντικαταστήσουμε την σταθερά του Boltzmann με $k=\frac{R}{N_A}$ προκύπτει
$$υ_{\mathsf{εν}}=\sqrt{\frac{3RT}{mN_A}}$$
Όμως επειδή $m$ είναι η μάζα ενός μορίου και $N_A$ είναι ο αριθμός των μορίων σε ένα $1\ \rm{mol}$ προκύπτει πως το γινόμενο $mN_A$ είναι η μάζα του ενός $\rm{mol}$. Η μάζα μιας ποσότητας αερίου ίσης με ένα $\rm{mol}$ συμβολίζεται με $M$ και είναι ίση με
$$M=mN_A=M_r\times 10^{-3}\ \frac{\rm{kg}}{\rm{mol}}$$
τελικά
|
$$υ_{\mathsf{εν}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$$ |
$$(9)$$ |
| 
