|
Πσορομοίωση με την οποία μπορούμε να μελετήσουμε την ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. Για να μεταβάλλουμε την επιτάχυνση του σώματος μπορούμε να σύρουμε το διάνυσμα της επιτάχυνσης, το διάγραμμα της επιτάχυνσης - χρόνου ή να αλλάξουμε την κλίση του διαγράμματος ταχύτητας - χρόνου. Για να μεταβάλλουμε την αρχική ταχύτητα του σώματος μπορούμε να σύρουμε το διάνυσμα της ταχύτητας, το κίτρινο σημείο στο διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου. Για να μεταβάλλουμε την αρχική θέση του σώματος μπορούμε να σύρουμε τον μοτοσυκλετιστή, τον άξονα της κίνησης ή το κίτρινο σημείο στο διάγραμμα θέσεως - χρόνου. Για να μεταβάλλουμε τον χρόνο θα πρέπει να σύρουμε τα μαύρα σημεία σε ένα από τα διαγράμματα κάποια χρονική στιγμή. Αν επιλέξουμε ρυθμίσεις μπορούμε να μεταβάλλουμε τις κλίμακες στα διαγράμματα και στον άξονα κίνησης.
Εφαρμογή
Στην παρακάτω προσομοίωση μετρήστε την επιτάχυνσή του μοτοσυκλετιστή.
Μια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη όταν η επιτάχυνση είναι σταθερή.
Αν για $t=0$ είναι $υ=υ_0$ και την χρονική στιγμή $t$ έχει ταχύτητα $υ$ τότε
$$a=\frac{Δυ}{Δt}$$
$$a=\frac{υ-υ_0}{t}$$
H παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία σε ένα διάγραμμα $υ-t$. Η Μετατόπιση στο χρονικό διάστημα $t = 0$ έως $t$ υπολογίζεται από το εμβαδό του σχήματος που περικλείεται από
- τον άξονα του χρόνου
- την αρχική και την τελική χρονική στιγμή
- και το γράφημα της ταχύτητας.
(σχ. 1)
$$Δx=\frac{υ+υ_0}{2}t$$
$$Δx=\frac{\left(υ_0+at\right)+υ_0}{2}t$$
$$Δx=\frac{2υ_0t+at^2}{2}$$
|
$$Δx=υ_0t+\frac12 at^2$$ |
$$(2)$$ |
H παραπάνω εξίσωση για την μετατόπιση ισχύει σε κάθε περίπτωση (ανεξάρτητα από το πρόσημο της αρχικής ταχύτητας και της επιτάχυνσης). Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται μια περίπτωση όπου η αρχική ταχύτητα είναι θετική και η επιτάχυνση αρνητική.
(σχ. 2)
Μια κίνηση χαρακτηρίζεται ως επιταχυνόμενη όταν αυξάνεται το μέτρο της ταχύτητας ή όταν τα διανύσματα της επιτάχυνσης και της ταχύτητας να έχουν την ίδια φορά. Ενώ μια κίνηση χαρακτηρίζεται ως επιβραδυνόμενη όταν το μέτρο της ταχύτητας ελαττώνεται ή όταν τα διανύσματα έχουν αντίθετη κατεύθυνση. Συχνά γίνεται η παρερμηνεία πως αν η επιτάχυνση είναι αρνητική τότε η κίνηση είναι επιβραδυνόμενη αυτό είναι σωστό μόνο στην περίπτωση εκείνη που ταυτόχρονα η ταχύτητα είναι θετική.
Είδαμε πως για τον υπολογισμό της μετατόπισης ισχύει η εξίσωση
|
$$Δx=\frac{υ+υ_0}{2}t$$ |
$$(3)$$ |
επίσης από την εξίσωση $υ=υ_0+at$ επιλύοντας ως προς τον χρόνο έχουμε
$$t=\frac{υ-υ_0}{a}$$
συνδυάζοντας τις δύο εξισώσεις
$$Δx=\frac{υ+υ_0}{2}\frac{υ-υ_0}{a}$$
$$Δx=\frac{υ^2-υ_0^2}{2a}$$
|
$$υ^2=υ_0^2+2aΔx$$ |
$$(4)$$ |
Η τελευταία είναι μια εξίσωση που μας δίνει την ταχύτητα του σώματος όταν μας είναι γνωστή η μετατόπιση $Δx$ και όχι ο χρόνος.
Όταν ένα σώμα κάνει επιβραδυνόμενη κίνηση ο χρόνος που απαιτείται μέχρι να σταματήσει στιγμιαία προκύπτει από την εξίσωση $(1)$ με $υ = 0$
$$0=υ_0+at$$
|
$$t=-\frac{υ_0}{a}$$ |
$$(5)$$ |
Δεν πρέπει να μας προβληματίζει το πρόσημο μείον στην εξίσωση γιατί για να σταματήσει το σώμα πρέπει να κάνει επιβραδυνόμενη κίνηση που σημαίνει ότι η αρχική ταχύτητα $υ_0$ και η επιτάχυνση $a$ έχουν αντίθετα πρόσημα με τελικό αποτέλεσμα ο χρόνος να είναι θετικός.
Επίσης από την εξίσωση $(4)$ όταν σταματήσει δηλαδή $υ = 0$ έχουμε
$$0=υ_0^2+2aΔx$$
$$Δx=-\frac{υ_0^2}{2a}$$
Ούτε σε αυτήν την περίπτωση δεν πρέπει να μας προβληματίζει το πρόσημο μείον στην εξίσωση γιατί αν έχουμε επιβραδυνόμενη κίνηση με αρνητική επιτάχυνση τότε η μετατόπιση θα είναι θετική ίδιας φοράς με την αρχική ταχύτητα ενώ αν η κίνηση είναι επιβραδυνόμενη με θετική επιτάχυνση (ναι υπάρχει και τέτοια επιβραδυνόμενη!!) τότε η μετατόπιση θα είναι αρνητική και πάλι ίδιας φοράς με την αρχική ταχύτητα.
Στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση αν ισχύει μια τις παρακάτω προτάσεις τότε ισχύουν και όλες οι υπόλοιπες
- Σε ίσους χρόνους έχουμε ίσες μεταβολές ταχύτητας
- Η επιτάχυνση είναι σταθερή
- Η μέση επιτάχυνση είναι ίση με την στιγμιαία επιτάχυνση
- Η ταχύτητα δίνετε από την σχέση $υ=υ_0+at$
- Η μετατόπιση δίνετε από την σχέση $Δx=υ_0t+\frac12 at^2$
- Το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου είναι ευθεία με μη μηδενική κλίση
- Το διάγραμμα επιτάχυνσης - χρόνου είναι ευθεία παράλληλη του άξονα των χρόνων
- Το διάγραμμα θέσεως - χρόνου είναι παραβολή.
Παρατήρηση
Λίγα λόγια για τις εξισώσεις:
|
$$\upsilon=\upsilon_0 -αt$$ $$\Delta x=\upsilon_0 t - \frac12 \alpha t^2$$ |
$$(6)$$ |
- Αν δεν έχουμε δώσει καμία διευκρίνηση είναι ισοδύναμο με το να έχουμε αλλάξει τον συμβολισμό για την επιτάχυνση. Δηλαδή Επιτάχυνση$=-\alpha$. Με το $\alpha$ ένα ορφανό σύμβολο χωρίς να έχει οριστεί.
- Αν διευκρινίσουμε πως \(\alpha\) είναι το μέτρο του διανύσματος τότε το μόνο που λέμε είναι πως η επιτάχυνση είναι αρνητική.
- Αν πούμε ότι στην επιβραδυνόμενη κίνηση ισχύει η εξίσωση \(\Delta x=\upsilon_0 t-\frac12 \alpha t^2\) με \(\alpha=\) Μέτρο επιτάχυνσης τότε η αρχική ταχύτητα οφείλει να είναι θετική. Σε αυτήν την περίπτωση (περίπτωση που θέλουμε στην ουσία να επικεντρωθούμε)
- Με την χρήση του προσήμου \((-)\) ανοίχουμε μια ΤΕΡΑΣΤΙΑ ΠΛΗΓΗ στην χρήση των συμβόλων. Ο μαθητής βλέπει το ίδιο σύμβολο το οποίο την μια φορά είναι επιτάχυνση και την άλλη μέτρο της επιτάχυνσης. Η μεγαλύτερη αξία του συμβόλου χάθηκε. Το σύμβολο το έχουμε ώστε με «μια ματιά» να καταλαβαίνουμε τι εννοούμαι. Όταν αναγκαζόμαστε μέσα από το κείμενο να ψάχνουμε τι εννοούμε με το σύμβολο \(\alpha\) τότε η εξίσωση είναι άχρηστη. Φανταστείτε για ένα σήμα κυκλοφορίας πχ το STOP την μια φορά να εννοούμε «σταματάμε» και την άλλη «πατάμε γκάζι» και να ψάχνουμε στο manual τι εννοούμε αυτήν την φορά.
- Ένας συνειρμός που γίνεται άμεσα είναι «Από την στιγμή που η εξίσωση με το \((-)\) ισχύει για την επιβραδυνόμενη τότε η εξίσωση με το \((+)\) θα ισχύει για την επιταχυνόμενη». Καταστροφή. Έχουμε δύο εξισώσεις για δύο κινήσεις και όχι μια κίνηση. Σε μια κίνηση που δεν μπορούμε να αποφασίσουμε άμεσα από την αρχή το είδος της τότε δεν ξέρουμε από ποια εξίσωση να ξεκινήσουμε.
- Αφήνει μετέωρο για το τι θα γίνει στην «επιστροφή». Ισχύει τότε η εξίσωση; Αν ναι τότε πως γίνεται να ισχύει αφού η κίνηση είναι επιταχυνόμενη;
- Δεν καλύπτει την περίπτωση όπου έχουμε επιβραδυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα αρνητική και επιτάχυνση θετική. (Στο σιγά που θα το δούμε αυτό η απάντηση είναι το βλέπουμε στις ταλαντώσεις βέβαια εκεί η επιτάχυνση μεταβάλλεται αλλά έχουμε επιβραδυνόμενη κίνηση με αρνητική ταχύτητα και θετική επιτάχυνση). Μπορούμε βέβαια να ισχυριστούμε πως αυτό μπορεί να ξεπεραστεί με κατάλληλη επιλογή θετικής φοράς. Αυτό μπορεί να γίνει συνήθως σε προβλήματα χωρίς διαγράμματα ή όταν ο μαθητής έχει την δυνατότητα να επιλέξει την θετική φορά δεν μπορεί να γίνει αν του δίνεται η θετική φορά καθώς και όταν έχουμε δύο σώματα.
- Δημιουργεί την ανάγκη να χρησιμοποιήσουμε σύμβολα και εξισώσεις της μορφής $$\upsilon=\upsilon_0-|a|t$$ $$\Delta x=\upsilon_0 t - \frac12 |a|t^2$$ που για να ισχύει πρέπει η επιτάχυνση να είναι αρνητική και κρύβουμε κάτω από το χαλί πως η ταχύτητα πρέπει να είναι θετική αλλά για αυτήν δεν χρειάζεται να την βάζουμε σε απόλυτο γιατί εννοείται πως είναι θετική κλπ
Η αίσθηση που έχω είναι πως κάνοντας χρήση της εξίσωσης με το \((-)\) για την μεταβαλλόμενη κίνηση δημιουργείται ένα μπάχαλο. Είναι σαν ένα δοχείο γεμάτο με νερό που κάθε λίγο και λιγάκι ανακαλύπτουμε και μια τρύπα και προσπαθούμε να την κλείσουμε. Μια καθαρά διανυσματική εξίσωση που ισχύει σε κάθε περίπτωση και για κάθε συνδυασμό ταχύτητας, επιτάχυνσης και μετατόπισης (αρκεί η επιτάχυνση να είναι σταθερή) την κατακερματίζουμε δημιουργώντας περιπτώσεις των περιπτώσεων μόνο και μόνο για να βλέπουμε το πρόσημο \((-)\) το οποίο μάλιστα είναι ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΟ να το συνδέουμε με την επιβραδυνόμενη κίνηση.
| 
