|
Εφαρμογή με την οποία μπορούμε να μελετήσουμε την ελεύθερη πτώση και την κατακόρυφη βολή. Μπορούμε να επιλέξουμε θεωρητικό ή πειραματικό περιβάλλον, να επιλέξουμε ένα ή δύο σώματα για σύγκριση, να σύρουμε τον άξονα (χάρακα), το σώμα ή τα σώματα όπως επίσης να αλλάξουμε κλίμακες και βαρύτητα. Μπορούμε να πάρουμε αντίγραφα των γραφικών παραστάσεων για σύγκριση. Για να διαγράψουμε τα αντίγραφα πατάμε το πλήκτρο 'x'. Τα αντικείμενα θεωρούνται σφαίρες. Οι τριβές είναι ανάλογες της ταχύτητας. Το ιξώδες είναι υπερβολικά μεγάλο για περισσότερο εμφανή αποτελέσματα.
Ελεύθερη Πτώση
Ελεύθερη πτώση ονομάζουμε την κίνηση που κάνει ένα σώμα όταν σε αυτό ενεργεί μόνο το βάρος του. Αν και στην ελεύθερη πτώση μπορεί να υπαχθεί και η κατακόρυφη βολή συνηθίζεται να θεωρείται ελεύθερη πτώση κίνηση ενός σώματος χωρίς αρχική ταχύτητα. Το πείραμα αποδεικνύει πως όλα τα σώματα ανερτήτως μάζας έχουν την επιτάχυνση. Η επιτάχυνση αυτή ονομάζεται επιτάχυνση της βαρύτητας και συμβολίζεται με $\vec g$. Με $g$ συμβολίζουμε το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας και είναι πάντα θετικός αριθμός. Σε αποστάσεις πολύ μικρές σε σχέση με την ακτίνα της Γης η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι σταθερή με διεύθυνση την κατακόρυφο ενός τόπου (κάθετη στον ορίζοντα όπως η επιφάνεια μιας λίμνης) και φορά προς το κέντρο της Γης.
Επειδή η κίνηση είναι με σταθερή επιτάχυνση θα ισχύουν οι σχέσεις
$$s=\frac12 at^2$$
$$υ=at$$
Για να μπορούμε να αναφερόμαστε θεωρούμε κατακόρυφο άξονα $y'y$. Αν η θετική φορά του άξονά μας είναι προς τα κάτω τότε τη επιτάχυνση του σώματος είναι $a=+g$ ενώ αν η θετική φορά είναι προς τα πάνω τότε η επιτάχυνση του σώματος θα είναι $a=-g$. Συνηθίζεται όταν αντιμετωπίζουμε το προβλήματα ελεύθερης πτώσης να επιλέγουμε την θετική φορά προς τα κάτω και αρχή του άξονα την θέση του σώματος την χρονική στιγμή $t=0$ οπότε οι εξισώσεις γίνονται
|
$$y=\frac12 gt^2$$ |
$$(1)$$ |
Να σημειωθεί πως σε μια τέτοια περίπτωση το $y$ δεν αντιπροσωπεύει το ύψος από την επιφάνεια της γης παρά την θέση του σώματος με βάση το σύστημα αναφοράς που επιλέξαμε. Αν θέλουμε να βρούμε το ύψος που απέχει το σώμα την τυχαία χρονική στιγμή $t$ τότε αυτό υπολογίζεται από την εξίσωση
$$ h=H-\frac12 gt^2$$
Κατακόρυφη βολή προς τα πάνω
Αν εκτοξεύσουμε ένα σώμα προς τα πάνω με ταχύτητα $υ_0$ τότε συνηθίζεται η θετική φορά του άξονα $y'y$ να είναι επιλέγεται προς τα πάνω και η αρχή του το σημείο εκτόξευσης του σώματος. Σε μια τέτοια περίπτωση οι εξισώσεις γίνονται
|
$$y=υ_0t-\frac12 gt^2$$ |
$$(3)$$ |
Ως χρόνο ανόδου ονομάζουμε το χρονικό διάστημα που απαιτείται ώστε το σώμα να σταματήσει στιγμιαία.
$$υ=υ_0-gt$$
Αν $t=t_\mathsf{αν}$ τότε $υ=0$
$$0=υ_0-gt_\mathsf{αν}$$
|
$$t_\mathsf{αν}=\frac{υ_0}{g}$$ |
$$(5)$$ |
Αν με $h_\rm{max}$ συμβολίσουμε το μέγιστο ύψος που φτάνει το σώμα από το σημείο εκτόξευσης τότε
$$y=υ_0t-\frac12 gt^2$$
Αν $t=t_\mathsf{αν}$ τότε $y=h_\rm{max}$
$$h_{\rm{max}}={υ_0}t_{\mathsf{αν}}-\frac12 g \left(t_\mathsf{αν}\right)^2$$
$$h_{\rm{max}}=υ_0\frac{υ_0}{g}-\frac12 g\left(\frac{υ_0}{g}\right)^2$$
|
$$h_{\rm{max}}=\frac{υ_0^2}{2g}$$ |
$$(6)$$ |
Ο χρόνος που απαιτείται για να ξανάρθει το σώμα στην ίδια θέση εκτόξευσης ονομάζεται ολικός χρόνος και συμβολίζεται $t_\mathsf{ολ}$. Όταν το σώμα επανέλθει στην αρχική του θέση τότε $y=0$ έτσι
$$y=υ_0t-\frac12 gt^2$$
Αν $t=t_\mathsf{ολ}$ τότε $y=0$
$$0=υ_0t_\mathsf{ολ}-\frac12 g\left(t_\mathsf{ολ}\right)^2$$
|
$$t_\mathsf{ολ} = \frac{2υ_0}{g}$$ |
$$(7)$$ |
Επειδή ο ολικός χρόνος της κίνησης είναι ίσος με τον χρόνο ανόδου και τον χρόνο καθόδου θα ισχύει
$$t_\mathsf{ολ} = t_\mathsf{αν} + t_\mathsf{καθ}$$
$$\frac{2υ_0}{g}=\frac{υ_0}{g} + t_\mathsf{καθ}$$
|
$$t_\mathsf{καθ}=\frac{υ_0}{g}$$ |
$$(8)$$ |
| 
