|
Στο πρότυπο του Bohr για το άτομο του υδρογόνου το ηλεκτρόνιο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε καλά καθορισμένες τροχιές που ονομάζονται στοιβάδες. Η 1η στοιβάδα αντιστοιχεί για n=1 η δεύτερη για n=2 κ.ο.κ. Όταν το ηλεκτρόνιο απορροφήσει κατάλληλη ενέργεια μεταβαίνει σε στοιβάδα με μεγαλύτερο n. Σε αυτήν την διεγερμένη κατάσταση μένει για πολύ μικρό χρονικό διάστημα και πέφτει σε στοιβάδα μικρότερης ενέργειας εκπέμποντας ένα φωτόνιο. Η ενέργεια του εκπεμπόμενου φωτονίου εξαρτάται από την αρχική και τελική στοιβάδα. Όταν το ηλεκτρόνιο πέφτει στην στοιβάδα n=2 τα φωτόνια που εκπέμπονται βρίσκονται στην ορατή περιοχή.
Για την λειτουργία της προσομοίωσεις μπορείτε να σύρετε το ηλεκτρόνιο σε μια στοιβάδα ή να κάνετε κλικ σε κάποια στιβάδα και το ηλεκτρόνιο θα μεταβεί σε αυτήν. Αν η τελική στοιβάδα είναι χαμηλότερης ενέργειας τότε εκπέμπεται ένα φωτόνιο. Αν τελική στοιβάδα είναι μεγαλύτερης ενέργειας τότε η μετάβαση αντιστοιχεί σε διέγερση. Οταν η εφαρμογή εκτελείται τότε για να διεγερθεί - αποδιεγερθεί αρκεί να κάνουμε κλικ σε κάποια στοιβάδα και μετά από κάποιο χρονικό διάστημα το ηλεκτρόνιο αποδιεγείρεται και με διαδοχικά βήματα καταλείγει στην βασική του κατάσταση.
Στο πρότυπο του rutherford για το άτομο του Υδρογόνου προβλέπει πως το ηλεκτρόνιο κινείται σε κυκλική τροχιά εξαιτίας των δυνάμεων Coulomb. Στην κυκλική κίνηση η συνισταμένη δύναμη στην διεύθυνση της ακτίνας είναι η κεντρομόλος οπότε πρέπει να ισχύει
$$F_{\rm{Coulomb}}=\frac{mυ^2}{r}$$
$$k\frac{e\cdot e}{r^2}=\frac{mυ^2}{r}$$
|
$$mυ^2=k\frac{e^2}{r}$$ |
$$(1)$$ |
|
$$υ=e\sqrt{\frac{k}{mr}}$$ |
$$(2)$$ |
$$f=\frac{e}{2πr}\sqrt{\frac{k}{mr}}$$
Η ενέργεια του ηλεκτρονίου καθώς περιστρέφεται είναι
$$E=K+U$$
$$E=\frac12 mυ^2+k\frac{(+e)(-e)}{r}$$
Σε συνδιασμό με την $(1)$ προκύπτει
$$E=\frac12 k\frac{e^2}{r}-k\frac{e^2}{r}$$
$$E=k\frac{e^2}{2r}-k\frac{e^2}{r}$$
|
$$E=-k\frac{e^2}{2r}$$ |
$$(3)$$ |
Το πρότυπο του Rutherford είχε δύο σημαντικά προβλήματα.
1) Επειδή το ηλεκτρόνιο εκτελεί κυκλική τροχιά θα έπρεπε να εκπέμπει ακτινοβολία με αποτέλεσμα η ενέργεια του θα ελαττωνόταν και πάρα πολύ γρήγορα θα έπρεπε να πέσει στον πυρήνα. Δηλαδή δεν θα υπήρχε ο κόσμος μας όπως είναι σήμερα ή τουλάχιστον δεν ήταν έτσι όπως τον γνωρίζουμε.
2) Η συχνότητα των εκπεμπόμενων ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων θα έπρεπε να παίρνει όλες τις τιμές δηλαδή το φάσμα εκπομπής του υδρογόνου έπρεπε να είναι συνεχές. Αυτό όμως ερχόταν σε αντίθεση με τα πειραματικά δεδομένα όπου το φάσμα εκπομπής ήταν γραμμικό.
O Bohr προκειμένου να ερμηνεύσει τα δύο αυτά προβλήματα του πρότυπου του Rutherford εισήγαμε μερικά αξιώματα (συνθήκες)
-
Το ηλεκτρόνιο μπορεί να κινείται μόνο σε ορισμένες τροχιές οι οποίες ονομάζονται επιτρεπόμενες τροχιές. Οι επιτρεπόμενες τροχιές είναι εκείνες για τις οποίες η στροφορμή είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της ποσότητας $\hbar = \frac {h}{2π}$ δηλαδή
-
Όταν ένα ηλεκτρόνιο κινείται σε ορισμένη επιτρεπτή τροχιά δεν εκπέμπει ακτινοβολία.
-
Όταν το ηλεκτρόνιο μεταπηδήσει από μια επιτρεπόμενη τροχιά σε άλλη μικρότερης ενέργειας, τότε εκπέμπεται ένα φωτόνιο με ενέργεια ίση με τη διαφορά μεταξύ της αρχικής και της τελικής ενέργειας του.
Η πρώτη συνθήκη του Bohr οδηγεί
$$L=n\hbar$$
$$mυr=n\hbar$$
$$me\sqrt{\frac{k}{mr}}r=n\hbar$$
$$m^2e^2\frac{k}{mr}r^2=n^2\hbar^2$$
$$r=\frac{\hbar^2}{kme^2}n^2$$
Όπου $r_1$ είναι η ακτίνα που αντιστοιχεί για $n=1$ δηλαδή η πλησιέστερη στον πυρήνα επιπτρεπτή τροχιά. Η ακτίνα αυτή ονομάζεται ακτίνα του Bohr και είναι ίση με $r_1=0.53\cdot 10^{-10}\ \rm{m}$. Όπου $n$ θετικός ακέραιος, ο οποίος ονομάζεται κύριος κβαντικός αριθμός, και μπορεί να πάρει τιμές από ένα μέχρι άπειρο:
|
$$n = 1,2,3, \ldots ,\infty $$ |
$$(7)$$ |
Η ενέργεια του ηλεκτρονίου υπολογίζεται από την εξίσωση $3$ η οποία με βάση την εξίσωση $6$ γίνεται
$$E=-k\frac{e^2}{2n^2r_1}$$
|
$$E=\frac{E_1}{n^2}$$ |
$$(8)$$ |
Όπου
$$E_1=-k\frac{e^2}{2r_1}$$
$$E_1=-13.6\ \rm{eV}$$
|
$$E=\frac{-13.6\ \rm{eV}}{n^2}$$ |
$$(9)$$ |
Στο (S.I.)
$$E_1=-2.78\cdot 10^{-18}\ \rm{J}$$
|
$$E=\frac{-2.78\cdot 10^{-18}\ \rm{J}}{n^2}$$ |
$$(10)$$ |
Ας υποθέσουμε πως το ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε μια διεγερμένη κατάσταση πχ $n=3$ για να συμβεί κάτι τέτοιο θα πρέπει να έχει απορροφήσει ενέργεια πχ με την μορφή ενός φωτονίου. Το ηλεκτρόνιο θα αποδιεγερθεί ή στην κατάσταση με $n=2$ ή στην $n=1$. Θα υπολογίσουμε τα μήκη κύματος των φωτινίων σε κάθε περίπτωση.
Για την μετάπτωση από $n=3\to n=2$ έχουμε
$$hf = E_3-E_2$$
$$h\frac{c}{λ}=\left(\frac{-13.6\ \rm{eV}}{3^2}\right)-\left(\frac{-13.6\ \rm{eV}}{2^2}\right)$$
$$h\frac{c}{λ}=\left(-1.51\ \rm{eV}\right)-\left(-3.4\ \rm{eV}\right)$$
$$h\frac{c}{λ}=1.89\ \rm{eV}$$
$$λ=\frac{(6.625\cdot 10^{-34})(3\cdot 10^8)}{(1.89)(1.6\cdot 10^{-19})}$$
$$λ=6.58\cdot 10^{-7}\ \rm{m}$$
$$λ=658\ \rm{nm}$$
Ενώ για την μετάπτωση από $n=3\to n=1$ έχουμε
$$hf = E_3-E_1$$
$$h\frac{c}{λ}=\left(\frac{-13.6\ \rm{eV}}{3^2}\right)-\left(\frac{-13.6\ \rm{eV}}{1^2}\right)$$
$$h\frac{c}{λ}=\left(-1.51\ \rm{eV}\right)-\left(-13.6\ \rm{eV}\right)$$
$$h\frac{c}{λ}=12.09\ \rm{eV}$$
$$λ=\frac{(6.625\cdot 10^{-34})(3\cdot 10^8)}{(12.09)(1.6\cdot 10^{-19})}$$
$$λ=1.03\cdot 10^{-7}\ \rm{m}$$
$$λ=103\ \rm{nm}$$ | 
Φυσική 
