Seilias

• Στην παρακάτω προσομοίωση πιέστε το πλήκτρο play για να δείτε την κίνηση του σώματος σε κάθε χρονική στιγμή.
• Παρατηρήστε ποιά σχέση έχουν τα διαγράμματα δύναμης - επιτάχυνσης - θέσης.
• Μεταβάλλετε την σταθερά επαναφοράς και την μάζα του σώματος για να δείτε πως αυτές οι μεταβολές επηρεάζουν την περίοδο της ταλάντωσης.
• Αλλάξτε τον οριζόντιο άξονα από άξονα των χρόνων σε άξονα των θέσεων για να δείτε που μεταβάλλονται τα μεγέθη σε σχέση με την απομάκρυνση του σώματος.

Πλήρη Οθόνη

Όμως γνωρίζουμε ότι στην απλή αρμονική ταλάντωση η επιτάχυνση δίνεται από την εξίσωση

Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις προκύπτει

Το γινόμενο  mω² είναι σταθερό (ανεξάρτητο του x,υ,α,t) κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης και συμβολίζεται με D και ονομάζεται σταθερά επαναφοράς. (Κάθε φορά που θα λέμε ότι ένα μέγεθος παραμένει σταθερό θα αναρωτιόμαστε «όταν αλλάζει τι;»)

Έτσι όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση η συνισταμένη δύναμη είναι της μορφής

Με μαθηματικά μπορεί να αποδειχθεί και το αντίστροφο, δηλαδή αν σε ένα σώμα ενεργεί δύναμη της μορφής

τότε το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με ταλάντωση (με την προϋπόθεση πως και η αρχική ταχύτητα έχει την ίδια διεύθυνση με την δύναμη) με

Από τις παραπάνω εξισώσεις παρατηρούμε πως η γωνιακή συχνότητα και η περίοδος είναι ανεξάρτητες από το πλάτος  της ταλάντωσης.

Λίγα λόγια για την σταθερά ταλάντωσης :

Βλέποντας κανείς την εξίσωση

η πρώτη σκέψη είναι πως η σταθερά D είναι ανάλογη της μάζας και ανάλογη του τετραγώνου της γωνιακής συχνότητας. Αυτό όμως είναι λάθος, γιατί η εξαρτημένη μεταβλητή είναι η γωνιακή συχνότητα δηλαδή η μάζα του σώματος μαζί με την σταθερά της ταλάντωσης D αναγκάζουν το σώμα να εκτελέσει ταλάντωση με

Τέτοια παραδείγματα έχουμε συναντήσει και σε προηγούμενες τάξεις (όπως  ,  ,  ) όπου δηλαδή αν και έχουμε ένα μέγεθος να οριζεται με κάποια άλλα τελικά να μην εξαρτάται απ΄ αυτά.

Η σταθερά D της ταλάντωσης λέγεται σταθερά, γιατί δεν εξαρτάται από τον χρόνο (οπότε ούτε και από μεγέθη που εξαρτώνται από τον χρόνο όπως x,υ,α) και δεν εξαρτάται επίσης ούτε από το πλάτος της ταλάντωσης. Η σταθερά ταλάντωσης έχει σχέση με την μορφή της δύναμης και συνήθως δεν εξαρτάται ούτε από την μάζα του σώματος (Υπάρχει η περίπτωση του εκκρεμούς όπου η σταθερά της ταλάντωσης εξαρτάται από την μάζα.)

Στα προβλήματά μας η πιο συνηθισμένη περίπτωση ταλαντώσεων είναι ένα σώμα δεμένο σε ένα ελατήριο μέσα σε πεδίο βαρύτητας χωρίς τριβές. Σε αυτές τις περιπτώσεις η σταθερά ταλάντωσης D είναι ίση με την σταθερά του ελατηρίου η οποία είναι ανεξάρτητη της μάζας του σώματος που είναι δεμένο στο ελατήριο.

Να θυμηθούμε πως η συνισταμένη των δυνάμεων που ενεργούν σε ένα σώμα είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος έτσι