Seilias

Κατεβάστε την εφαρμογή για λειτουργία σε τοπικό επίπεδο χωρίς να απαιτείται σύνδεση στο Internet.

Download

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σώμα μάζας $m$ είναι δεμένο σε ένα οριζόντιο ελατήριο σταθεράς $k$. Oνομάζουμε ιδιοσυχνότητα  την συχνότητα της ταλάντωσης που θα έκανε το σώμα αν δεν ενεργούσε καμία άλλη δύναμη εκτός της δύναμης του ελατηρίου. Δηλαδή

και γωνιακή ιδιοσυχνότητα

Αν υπάρχουν δυνάμεις τριβής $F_\mathsf{αντ}=-bυ$ τότε η ταλάντωση είναι φθίνουσα και μετά από κάποιο χρονικό διάστημα το σώμα θα σταματήσει. Αν θέλουμε το σώμα να κάνει αμείωτη ταλάντωση θα πρέπει να του δίνουμε ενέργεια που να αναπληρώνει την ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική λόγω τριβών. Ένας τρόπος για να δίνεται στο σώμα ενέργεια και να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση είναι να ενεργεί στο σώμα μια περιοδική δύναμη της μορφής

Η δύναμη αυτή ονομάζεται διεγείρουσα δύναμη και το σώμα που ασκεί την δύναμη διεγέρτης. Όπου $ω$ η γωνιακή συχνότητα του διεγέρτη. Η κίνηση του σώματος τελικά θα είναι μια απλή αρμονική ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα ίση με αυτήν του διεγέρτη.

με πλάτος ταλάντωσης

Δηλαδή το σώμα θα αναγκαστεί να εκτελέσει ταλάντωση με συχνότητα που του επιβάλλεται από το διεγέρτη και όχι με τη δική του ιδιοσυχνότητα και με πλάτος που εξαρτάται και από την συχνότητα του διεγέρτη αλλά και από την ιδιοσυχνότητα του συστήματος.
Όταν το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο, τότε λέμε ότι έχουμε συντονισμό του πλάτους της ταλάντωσης ή απλά συντονισμό. Η συχνότητα για την οποία μεγιστοποιείται το πλάτος της ταλάντωσης είναι λίγο μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα του συστήματος. (όταν  $f=f_0$ τότε μεγιστοποιείται το πλάτος της ταχύτητας).

Όσο μεγαλώνει η σταθερά απόσβεσης $b$ τόσο μεγαλώνει και η διαφορά μεταξύ της συχνότητας που έχουμε μέγιστο πλάτος  $f_\mathsf{συντονισμού}$ και της ιδιοσυχνότητας  $f_0$. Επειδή η διαφορά των δύο συχνοτήτων είναι μικρή για μικρές τιμές της σταθεράς απόσβεσης, δεν θα γίνεται διάκριση μεταξύ των δύο εκτός και αναφέρεται ρητά. Δηλαδή συντονισμό θα θεωρούμε ότι συμβαίνει όταν η ιδιοσυχνότητα του διεγέρτη γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος.

Για πολύ μικρές τιμές της  $f$ το σώμα και ο διεγέρτης ταλαντώνονται σε φάση με πολύ μικρές ταχύτητες (έτσι επίσης η τριβή είναι πολύ μικρή) στην ουσία του ελατήριο δεν είναι παραμορφωμένο. Το άκρο (στο οποίο ενεργεί ο διεγέρτης) και το σώμα ταλαντώνονται περίπου όπως θα ταλαντωνόταν αν ανάμεσά τους υπήρχε μια άκαμπτη ράβδος. Έτσι το πλάτος της ταλάντωσης θα είναι $A=F_0/k$

Για μεγάλες τιμές της $f$ το σώμα και ο διεγέρτης ταλαντώνονται με αντίθεση φάσης, έτσι η μία μετατόπιση σχεδόν αναιρεί την άλλη οπότε το σώμα ταλαντώνεται με πολύ μικρό πλάτος.

Παρατήρηση

Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση το σώμα θα καταλήξει να κάνει απλή αρμονική ταλάντωση με

Αν $m$ είναι η μάζα του σώματος που κάνει ταλάντωση τότε

Αν το γινόμενο $mω^2$ το συμβολίσουμε με $D$ τότε

Αν το σώμα είναι δεμένο σε ένα οριζόντιο ελατήριο σταθεράς $k$ η εξίσωση που περιγράφει το φαινόμενο είναι

Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση το σώμα θα καταλήξει να κάνει απλή αρμονική ταλάντωση όμως η σταθερά ταλάντωσης $D$ και η σταθερά του ελατηρίου $k$ γενικά δεν ταυτίζονται και αυτό γιατί

ενώ

Ταυτίζονται μόνο στην περίπτωση του συντονισμού.

Άμεση συνέπεια των παραπάνω είναι η μηχανική ενέργεια του συστήματος ελατήριο-σώμα $E_\mathsf{μηχ}=\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mυ^2$ και η ενέργεια ταλάντωσης $E_\mathsf{T}=\frac{1}{2}Dx^2+\frac{1}{2}mυ^2$ να είναι διαφορετικές και να ταυτίζονται μόνο στον συντονισμό. Η ενέργεια ταλάντωσης παραμένει σταθερή κατά την διάρκεια ταλάντωσης ενώ η μηχανική ενέργεια μεταβάλλεται γιατί στιγμιαία η ενέργεια που προσφέρει ο διεγέρτης δεν είναι ίση με τον ρυθμό απώλειας ενέργειας λόγω τριβών.

Λίγο πιο πάνω αποδείξαμε πως

Στον συντονισμό επειδή η συχνότητα του διεγέρτη είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος έχουμε

Η Ισχύς του διεγέρτη θα είναι

Απο την τελευταία εξίσωση προκύπτει πως κατά τον συντονισμό ο διεγέρτης πάντα προσφέρει ενέργεια στο σύστημα (ισχύς θετική) δηλαδή ο τρόπος που προσφέρεται η ενέργεια είναι ο βέλτιστος, ενώ σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση υπάρχουν στιγμές που ο διεγέρτης έχεις αντίθετη φορά με την ταχύτητα και αφαιρεί ενέργεια από το σύστημα.

Σχόλιο απο τον Θοδωρή Παπασγουρίδη

Μεταφέρω το σχόλιο στο κείμενο μια και ο χώρος των σχολίων δεν είναι κατάλληλος για γραφή εξισώσεων. Έχω βάλει κάποιες παραπομπές με απάντηση. Με χαρά θα δημοσιεύσω οποιαδήποτε απάντηση από οποιονδήποτε.

Κατ' αρχήν θα ήθελα να σας συγχαρώ για τις άψογες προσομοιώσεις και παράλληλα να σας ευχαριστήσω για τη βοήθεια που μας προσφέρετε να "οπτικοποιήσουμε" κινήσεις όπως η φθίνουσα και η εξαναγκασμένη ταλάντωση αλλά και φαινόμενα όπως η σύνθεση.Παράλληλα για λόγους αρχής θα ήθελα να διατυπώσω τη διαφωνία μου στον χαρακτηρισμό της συγκεκριμένης κίνησης ως ΑΑΤ. Η εξαναγκασμένη αρμονική ικανοποιεί τα κινηματικά χαρακτηριστικά μιας αρμονικής κίνησης⁽¹⁾, αλλά από τη στιγμή που δεν ασκούνται μόνο χωροεξαρτώμενες συντηρητικές δυνάμεις, η κίνηση αυτή δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ΑΑΤ⁽²⁾. Διαφωνώ επίσης με τη διαφοροποίηση των σταθερών $D$ και $k$. Εκτιμώ πως η δύναμη επαναφοράς $F_\mathsf{επ}$ στην πιο πάνω κίνηση είναι η συνισταμένη των συντηρητικών δυνάμεων βάρους και δύναμης ελατηρίου⁽³⁾ και σε κάθε θέση δίνεται από τη σχέση $F_\mathsf{επαν}=-kx$⁽⁴⁾ , κάτι που οδηγεί σε ταύτιση των $D,k$⁽⁵⁾. Στη δύναμη αυτή, αποδίδεται η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης⁽⁶⁾ $U=\frac{1}{2}Dx^2=\frac{1}{2}kx^2$, η μέγιστη τιμή της οποίας $U_\mathrm{max}=\frac{1}{2}kA^2$ ⁽⁷⁾ διαφέρει από τη μέγιστη τιμή της κινητικής $K_\mathrm{max}=\frac{1}{2}mω^2Α^2$, στη γενική περίπτωση που το σύστημα δεν βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού. Στη δύναμη αυτή, αποδίδεται η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης $U=\frac{1}{2}Dx^2=\frac{1}{2}kx^2$, η μέγιστη τιμή της οποίας $U_\mathrm{max}=\frac{1}{2}kA^2$ διαφέρει από τη μέγιστη τιμή της κινητικής $K_\mathrm{max}=\frac12 mω^2A^2$ , στη γενική περίπτωση που το σύστημα δεν βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού, οπότε η σταθερά $k$ διαφέρει από το γινόμενο $mω^2$ ⁽⁸⁾. Να διατυπώσω τη διαφωνία μου πιο απλά: Η χρήση του όρου $D=mω^2$ εκτιμώ πως δεν είναι επιτυχής⁽⁹⁾. Σας ευχαριστώ για το βήμα.

Απάντηση

(1) Συμφωνώ απόλυτα
(2) Αφού η έννοια ΑΑΤ είναι γεωμετρικό χαρακτηριστικό γιατί εμπλέκεις δυνάμεις; Επίσης αν δεν είναι αυτός ο ορισμός της ΑΑΤ τότε ποιος θεωρείς ότι είναι;
(3) Από που προκύπτει ότι ως δύναμη επαναφοράς ονομάζουμε την συνισταμένη των συντηρητικών δυνάμεων και όχι την συνισταμένη όλων των δυνάμεων;(σχ. βιβλίο σελ. 11: Η δύναμη $\sum {F} $ ονομάζεται δύναμη επαναφοράς...)
(4) Άρα ταυτίζεις την δύναμη του ελατηρίου (αν αφαιρέσουμε την βαρύτητα για λόγους απλότητας) με την δύναμη επαναφοράς.
(5) Διαφωνώ. Η Διαφοροποίηση των σταθερών οδηγεί και στην διαφοροποίηση τως Ζεγών (Δυναμική Ενέργεια Ταλάντωσης, Δυναμική Ενέργεια Ελατηρίου) καθώς και (Ενέργεια Ταλάντωσης, Μηχανική Ενέργεια).
(6) Δυναμική ενέργεια ελατηρίου: Ναι, Δυναμική Ενέργεια ταλάντωσης: Όχι
(7) Θεωρείς ότι δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και δυναμική ενέργεια ελατηρίου είναι το ίδιο. Δυναμική Ενέργεια Ταλάντωσης$=\frac12 mω^2x^2$, Δυναμική Ενέργεια Ελατηρίου=$\frac{1}{2}kx^2$. Μέγιστη Δυναμική Ενέργεια Ταλάντωσης = Μέγιστη Κινητική ενέργεια, Μέγιστη Δυναμική Ενέργεια Ελατηρίου$\ne$Μέγιστη Κινητική Ενέργεια.
(8) Συμφωνώ $k\ne mω^2$
(9) Αυτός είναι ο ορισμός του $D$, Όταν ένα σώμα μάζας $m$ κάνει ΑΑΤ με γωνιακή συχνότητα $ω$ συμβολίζουμε με $D$ το γινόμενο $mω^2$ (σχ. βιβλίο σελ. 11).

Σχόλιο-2- απο τον Θοδωρή Παπασγουρίδη

Μεταφέρω το σχόλιο στο κείμενο.

"Θα προσπαθήσω να τοποθετηθώ κατά το δυνατόν συντομότερα και στοχευμένα Ρωτάς: «Για ποιο λόγο να ορίσουμε ως δύναμη επαναφοράς την συνισταμένη των συντηρητικών δυνάμεων και όχι την συνισταμένη δύναμη; Στην εξαναγκασμένη η συνισταμένη $\sum F =F_\mathsf{επ}+F_\mathsf{αντ}+F_\mathsf{δ}$ έχει φορά προς τη ΘΙ, αφού $\sum F=ma=m(-ω^2x)$, όμως δεν ονομάζεται «δύναμη επαναφοράς».

Διαφωνώ (Σχολικό βιβλίο σελ.11). Η $\sum F $ ονομάζεται δύναμη επαναφοράς (αν και δεν επηρεάζει καθόλου την πορεία της συζήτησης)

Δύναμη επαναφοράς ονομάζεται η πεδιακή συνιστώσα της, η $F_\mathsf{ελ}$ αν πρόκειται για οριζόντιο ταλαντωτή, ή η συνισταμένη βάρους και $F_\mathsf{ελ}$ αν πρόκειται για κατακόρυφο, με αλγεβρική τιμή $F_\mathsf{επ}=-kx$ Γιατί; Διότι η δύναμη επαναφοράς είναι μία χωροεξαρτώμενη δύναμη, της οποίας η τιμή εξαρτάται μόνο από τη θέση. Αν λοιπόν κάποιο αίτιο, ακινητοποιήσει τον ταλαντωτή σε ορισμένη θέση, η πεδιακή συνιστώσα της $\sum F$ θα συνεχίσει να έχει την ίδια τιμή, ενώ η $\sum F$ όχι, αφού η δύναμη αντίστασης θα μηδενισθεί.

Ποιος το λέει αυτό; Σε ποιο σημείο ορίζεται με αυτόν τον τρόπο η δύναμη επαναφοράς;(αν και το τι ονομάζουμε δύναμη επαναφοράς μικρή σημασία έχει)

Η δυναμική ενέργεια δεν μπορεί να συνδέεται με την κινητική κατάσταση, άρα ούτε με τη δύναμη αντίστασης, η οποία είναι συνιστώσα της συνισταμένης. Έτσι η δυναμική ενέργεια δεν μπορεί να συνδέεται με τη συνισταμένη δύναμη. Δυναμική ενέργεια είναι η $U=\frac12 kx^2=\frac12 mω_0^2x^2$ αλλά όχι η $U=\frac12mω^2x^2$, η οποία κατά τη γνώμη μου, απλά δεν είναι ενέργεια.

Συμφωνούμε ΑΠΟΛΥΤΑ εκτός του ότι έχεις το ίδιο σύμβολο $U$ για δύο διαφορετικά πράγματα. $U=\frac12 kx^2=\frac12 mω_0^2x^2$ και $U_Τ=\frac12 Dx^2=\frac12 mω^2x^2$. (Προσοχή στις επόμενες λέξεις)

Εξάλλου, η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης σε μια θέση $x$, είναι ίση με το έργο των συντηρητικών συνιστωσών της $\sum F$, από τη θέση $x$ ως τη θέση $x=0$ και όχι με το έργο της ίδιας της $\sum F$ από τη θέση $x$ ως τη θέση $x=0$

Τώρα μου τα χαλάς. Aυτό που τώρα αναφέρεις ως δυναμική ενέργεια ταλάντωσης ελάχιστα πριν το χαρακτήριζες ως δυναμική ενέργεια. Αυτές οι δύο έννοιες είναι διαφορετικές ενώ τις χρησιμοποιείς χωρίς να τις διακρίνεις. Ισχύει $W_{\mathsf {Συντηρητικών\ Δυναμένων}}=-ΔU$ αλλά και $W_{\sum F}=-ΔU_Τ$

Στο κατακόρυφο ελατήριο, η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι $U=\frac12 kx^2$, όπου $x$ η απομάκρυνση από τη θέση $x=0$ και όχι η παραμόρφωση του ελατηρίου και προφανώς η δυναμική ενέργεια αλάντωσης διαφέρει από τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου.

Συμφωνoύμε αν αφαιρέσεις την λέξη "ταλάντωσης", αλλά ας μη μπλέξουμε και την δυναμική ενέργεια βαρύτητας. Αν και στο κατακόρυφο ελατήριο εξακολουθεί να ισχύει $U_Τ=\mathsf{Δυναμική\ ενέργεια\ ταλάντωσης} = \frac12 mω^2x^2$, $U=\mathsf{Δυναμική\ ενέργεια}=\frac12 k {Δ\ell}^2+mgh$

Η κινητική ενέργεια στη θέση $x=0$, είναι ίση με το έργο της συνισταμένης $\sum F$ από την ακραία θέση ως τη θέση $x=0$ (Συμφωνώ) και είναι ίση με $K_\mathrm{max}=\frac12 mω^2A^2$ (Συμφωνώ). Προφανώς δεν ισούται με το έργο των συντηρητικών συνιστωσών της $\sum F$, που δίνουν την $U_\mathrm{max}=\frac12 kA^2$ (Συμφωνώ. Αν όμως έγραφες δυναμική ενέργεια ταλάντωσης θα διαφωνούσα). Σε ευχαριστώ και εγώ για την ανταλλαγή απόψεων.

Συμπληρώνω ... η $K_\mathrm{max}=\frac12 mω^2A^2$ ισούται με την μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης $U_{Τ,\mathrm{max}}=\frac12 mω^2A^2$.

Στην προσομοίωση αν επιλέξεις ρυθμίσεις και από εκεί ενέργεια φαίνεται η μηχανική ενέργεια του συστήματος $$E_\mathsf{μηχ}=K+U=\frac12mυ^2+\frac12 kx^2\ne \mathsf{σταθ.}$$

Αν δεν διαφοροποιήσουμε τις έννοιες Ενέργεια ταλάντωσης και Μηχανική ενέργεια ή Δυναμική Ενέργεια Ταλάντωσης και Δυναμική ενέργεια δουλειά δεν γίνεται. Μπορεί η Ενέργεια ταλάντωσης και η Μηχανική ενέργεια να έχουν την ίδια σχέση που έχουν και τα "SUNY" και "SONY" δηλαδή η ενέργεια ταλάντωσης να είναι μια fake ενέργεια αλλά έτσι την βαφτίσαμε.

Με αφορμή το σχόλιο του Θοδωρή Παπασγουρίδη

Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή η έννοια ΑΑΤ είναι γεωμετρικό χαρακτηριστικό της κίνησης και όχι δυναμικό. Σύμφωνα με τον ορισμό του βιβλίου (σχ. βιβλίο σελ. 10) μια κίνηση "ονομάζεται" ΑΑΤ όταν $x=A\,\mathsf{ημ}(ωt+θ)$. Είναι ο ορισμός του βιβλίου και νομίζω ότι δεν υπάρχει λόγος να τον διαφοροποιήσουμε ειδικά αν ο νέος ορισμός δεν έχει να προσφέρει κάτι ουσιώδες. Αν διαφωνείς με τον όρο μπορείς στην θέση του να βάλεις πχ εξαναγκασμένη ταλάντωση τα υπόλοιπα δεν θα αλλάξουν. Σε κάθε περίπτωση ονομασίας της κίνησης θα ισχύει (μετά την πάροδο κάποιου χρόνου για τα μεταβατικά φαινόμενα) $$x=A\,\mathsf{ημ}(ωt+θ)$$

οπου $ω$ η γωνιακή συχνότητα του διεγέρτη. Άμεσο αποτέλεσμα αυτού

και

Από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα

Ας θεωρήσουμε πως το ελατήριο είναι οριζόντιο ή πως δεν έχουμε βαρύτητα. Τότε

Η σταθερά $k$ είναι γνωστή και δεν επιδέχεται αμφιβολία για το τι είναι. Την γνωρίζαμε και πριν από τις ταλαντώσεις. Είναι η σταθερά που χαρακτηρίζει το ελατήριο. Όταν δεν υπάρχουν τριβές και διεγέρτης και έχουμε μόνο το ελατήριο τότε

Μέχρι εδώ νομίζω ότι συμφωνούμε. Από δω και πέρα διαφωνούμε. Είναι προφανές πως άλλο πράγμα το γινόμενο $mω^2$ και άλλο πράγμα η σταθερά $k=mω_0^2$. Γιατί θεωρείς πως ο συμβολισμός $D=mω^2$ δεν επιτυχής; Αλλά ας υποθέσουμε πως ο παραπάνω συμβολισμός είναι κακός τότε μπορούμε το γινόμενο $mω^2$ να το συμβολίσουμε με όποιο άλλο σύμβολο επιθυμείς όχι όμως με το $k$. Γιατί αν $D=k$ τότε το $\frac{1}{2}Dx^2$ δεν θα είναι η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης αλλά η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου και το $-Dx$ δεν είναι η συνισταμένη δύναμη αλλά η δύναμη του ελατηρίου κλπ. Για ποιο λόγο να ορίσουμε ως δύναμη επαναφοράς την συνισταμένη των συντηρητικών δυνάμεων και όχι την συνισταμένη δύναμη;

Αν δεν διαχωριστούν τα σύμβολα $D$ και $k$ έχουμε πρόβλημα γιατί άλλα εννοεί ο ένας και άλλα εννοεί ο άλλος. Γιατί να μην κρατήσουμε τους συμβολισμούς του βιβλίου σύμφωνα με το οποίο για ένα σώμα μάζας $m$ που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, $x=A\,\mathsf{ημ}(ωt+θ)$, γωνιακής συχνότητας $ω$ η σταθερά $D$ ορίζεται ως $mω^2$ και η συνισταμένη δύναμη ονομάζεται δύναμη επαναφοράς.

Σε πείθει η πρόταση η "μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι διαφορετική από την μέγιστη κινητική ενέργεια";Αν ήταν πρόταση σωστού λάθους πως θα την χαρακτήριζες;

Αν διαχωρίσουμε τα σύμβολα $D$ και $k$ τότε όλες οι διαφωνίες εξαφανίζονται.

Στο πρόβλημα ένα σώμα μάζας $m=2\ \mathrm{kg}$ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με $x=3\,\mathsf{ημ}\,5t$. Να βρεθεί η σταθερά ταλάντωσης τι απάντηση δίνεις; Η μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση με την μέγιστη κινητική ενέργεια ή όχι; Θεωρείς πως ένα τέτοιο πρόβλημα είναι λανθασμένο;